五行師 卡牌建模計劃 多核心卡的過牌期望內(nèi)上手率模擬

五行師【卡牌建模計劃】多核心卡的過牌期望內(nèi)上手率模擬如下：

四千字警告！

這次內(nèi)容上來說確實承接上文，也是建模，但是也和生靈身材模板那個沒什么關(guān)系，是上一篇的拓展，主要針對于當(dāng)時尚未解決的幾個發(fā)展方向做出一些小小的研究。

（原先的生靈身材模板還是會更新的……吧？，只是還是會鴿一些0.0）

（好吧，這話我自己說著都沒信心hhhh）

好了，在看今天的正題之前，我們先來看一下十幾天前我新接的私活：

當(dāng)然條件給錯了，實際是九張一費生靈，不過這無傷大雅，只是參數(shù)上的改變罷了。

那么我們來嚴肅的思考下這個問題，上文我們解決了單核心卡的開局上手率問題，而這次的私活本質(zhì)上是多核心卡在特定回合前上手率的問題，這就需要我們解決上次留下來的三個小尾巴：

這也就是我們今天的正題：多核心卡在過牌期望內(nèi)的上手率模擬。

（說是模擬好像有些不太恰當(dāng)，更準確的說應(yīng)該是仿真，也就是造假hhhh）

原先的假設(shè)就不多談了，有興趣的話可以翻一下，那么根據(jù)原先的小尾巴，我們按解決順序提出一些基本的假設(shè)：

1. 后續(xù)抽牌不考慮如【斜月秘技】、【袁天罡】這種非常規(guī)的隨機抽牌。僅以能被觸發(fā)驚變的標準作為后續(xù)的抽牌模擬。

2. 多種核心卡的同時上手率問題，在某種核心卡手上超量的情況下可以予以換掉，比如說要算ABCD四種核心卡的上手率問題，后手可以換三張，手里有ABCABC，需要換其中三張ABC去找D。同時不考慮先手核心卡種類超過五張，后手換核心卡種類超過四張的情況，這也就保證開局一定會換牌并換滿先后手的二三張。

（不過一般卡組核心卡也很難超過四種吧……）

3. 核心卡不單指一張卡，可適用于同定位卡，比如九張一費怪可以算作A類核心卡，六張二費怪可以算作B類核心卡，這時A類核心卡的數(shù)量就是9，B類就是6，不一定指滿編最多三張的單卡。

柿子撿軟的捏，我們先來解決比較簡單的尾巴2，也就是單核心卡在特定回合前的上手率問題吧。

在假設(shè)1的條件下，我們實際就可以把整個對局中的手牌分成兩個階段，開局換牌階段與后續(xù)抽牌階段。

開局換牌階段的計算方法我就不多贅述了，有興趣的話可以參考。

而這個后續(xù)抽牌階段因為不考慮非常規(guī)的隨機抽牌，也就是說我們一般是能給出一個過牌期望m，m∈N+，如果m為0的話就相當(dāng)于不存在后續(xù)抽牌這個階段了。

那么此時這個后續(xù)抽牌階段的計算就相當(dāng)于在過牌期望m的一次排列組合，在牌庫數(shù)量為n，核心卡數(shù)量為k，先手換牌情況下至少上手一張核心卡為事件B1，可得：

嗯……可能公式看起來有點復(fù)雜，但原理還是很簡單的吧？

至于正向計算事件B1，則會變得比較復(fù)雜，需要分別計算正好一張核心卡的情況（也就是事件B2），正好兩張核心卡的情況，正好三張核心卡的情況……這里的計算量就會爆炸增長，我們需要盡量避免這種令人頭痛的事情發(fā)生。

也就是說，單核心卡在特定回合前上手率的問題我們已經(jīng)簡化成了以過牌期望的形式進行分步排列組合解決，同理可以根據(jù)上次的帖子算出來過牌期望為m的情況下至少x張核心卡上手率，這個原理是一樣的，只是原先的一次排列組合變成了兩次，我就不多贅述了。

那么帶入具體數(shù)據(jù)，我們可以算出來40張牌庫，【百鬼夜行·稀】數(shù)量為3，在三跳四修的回合過牌期望為5的情況下，四費能準時打出百鬼的概率：

（這里的后續(xù)過牌數(shù)量是算回合自動抽牌的，也就是說先手在三跳四修回合會總共自動抽到3張牌，這期間再抽兩張牌就達到了5的期望，如果是后手，那只用再額外抽一張牌就夠了，對于土系來說應(yīng)該還是比較簡單的吧？）

小尾巴2，解決。

事實上兩次排列組合是不是感覺還是比較麻煩？至少對于多種核心卡的多張上手率來說，分類討論的數(shù)量直接指數(shù)增長，那么有沒有簡單些的近似計算呢？

（當(dāng)然這里指的不是求導(dǎo)或者泰勒那種的近似計算hhhh）

能否將兩次排列組合換成一次呢？

思考一下，如果開局完全不換牌的話，那么其實整體就是一個排列組合，相當(dāng)于不斷從卡牌數(shù)量為n的牌庫中進行一次次不放回的抽牌，只是換牌的這個動作使得有兩次抽牌放回了，去掉這兩次的話這完全可以簡化為一次簡單的排列組合。

當(dāng)然，這會造成一定的誤差，畢竟先手情況一個是n張牌進行6次不放回抽牌和2次放回抽牌，一個是n+2張牌中進行8次不放回抽牌，誤差是肯定存在的，近似計算結(jié)果會比精確算出來的概率要小一點點。

我們帶入具體數(shù)據(jù)看看，在40張牌庫中核心卡數(shù)量為3，上手至少一張的概率用精確方法和近似方法算一下：

是不是感覺還能接受？而且這里還是影響最大的開局換牌部分，如果有后續(xù)抽牌部分的話兩種結(jié)果會更為接近一些。

小尾巴3，解決。

那么最后就是多核心卡的上手率問題。

首先我們來看一個錯誤的例子：

近似計算的話就相當(dāng)于和n相關(guān)的都變成n+2就行，后手就是n+3。

我們帶入具體值，牌庫數(shù)量為40，【定海神珠】數(shù)量為3，【平等王】數(shù)量為3，開局手上有珠子且有平等的概率就是：

看上去是不是很合理？

然而這里實際有涉及重復(fù)計算某些特殊的情況。

我們來看另一個實際問題，看完這個大致就明白了：

當(dāng)m=0時，算的就是開局六張+換牌兩張的A、B兩類核心卡上手概率，不考慮后續(xù)抽牌階段，這里是算的精確值，如果是后手，將所有8改為9即可。

當(dāng)m>0時，算的就是加上后續(xù)抽牌期望為m，這里因為兩次排列組合分類討論較為復(fù)雜，只能用近似方式計算，先手將所有n改為n+2即可，后手將所有8改為9，n改為n+3即可。

帶入具體值吧，牌庫數(shù)量為40，【定海神珠】數(shù)量為3，【平等王】數(shù)量為3，開局手上有珠子有平等的概率就是：

近似計算的誤差在10%左右，還可以接受的吧？

至于能否直接近似成單核心卡上手率冪的形式……由于篇幅原因我就不細說了，結(jié)論是在多種核心卡數(shù)量相等且其和不超過6+m的過牌期望時是可以的，具體效果還不錯，會比精確值稍高一點點，但誤差和近似計算差不太多，后手這方面甚至更好一些，但就是條件局限性比較大，兩個條件一旦不滿足其一結(jié)果都會有較為明顯的誤差。

小尾巴1，解決。

好的，那么我們終于可以開始著手解決一開頭的私活了，想不到就這么過去了一周多的時間……

這里我們適當(dāng)簡化一下問題，將核心卡歸納為4種，一費生靈為A類共計9張，二費生靈為B類（這里我們先將獨角獸等價為靈珠，后續(xù)再進行處理）共計6張，鐵扇公主為C類共計3張，亂劍和飛火流星為D類共計6張。

盤絲火本身是沒有過牌卡的，前期要鋪場也不會用門派技能，那么在三跳四這個回合先手過牌數(shù)量就為3，后手就為4，這里是很確定的，甚至用不上期望這個詞。

因為三費本身可選情況有兩種，我們就要分類討論出兩種情況：

第一種是在三費下鐵扇公主，這就相當(dāng)于手牌中A類核心卡1張，B類核心卡一張，C類核心卡一張，D類核心卡一張。

（因為3費出鐵扇，所以2費出靈珠和獨角獸差別都不大了，靈珠也享受不到收益的，就都歸為B類好了）

第二種是在三費2+1，這就相當(dāng)于A類核心卡兩張，B類核心卡兩張，C類核心卡0張，D類核心卡一張。

（注意這里C類一定是0張，不然根據(jù)加法原理與第一種有重復(fù)計算部分）

當(dāng)然呢這里我們與原問題有一些出入，首先是不能保證牌序的問題，比如同樣是ABCD各一張，但是三跳四修那個回合一費怪才來，肯定是與實際情況不符，但是在這個模型當(dāng)中會被納入可行解（記為第一個偏高情況）。還有就是第二種情況中沒有排除掉B類核心卡上手的全是獨角獸（記為第二個偏高情況），所以實際計算值我個人認為會偏高一些。

那么帶入具體值進行計算，可得：

我們將這個結(jié)果記為P(H)，將真實概率記為P(T)，將以下情況帶來的結(jié)果記為P(L)：

B類核心卡數(shù)量變更為4，刪去兩張獨角獸，這樣能保證第一種情況下鐵扇時靈珠與獨角獸同樣沒差，但第二種情況只要上手兩張核心卡，就一定會有至少一張靈珠。

這么做的話能保證原先兩個偏高情況中的第二個被糾正了，但是也因為核心卡數(shù)量與實際不符，會導(dǎo)致結(jié)果明顯偏低。

讓我們代入具體值計算一下：

這里我們也能初步得出一個結(jié)論：

P(H)> P(T)> P(L)。

事實上還有一種方法進行近似，就是將B類核心卡數(shù)量改為5，這樣第二個偏高情況只有正好上手兩張B類核心卡且均為獨角獸才會屬于不符合實際但被納入可行解的范圍，這個概率是非常小的，將這個結(jié)果記為P(S)，我個人覺得P(S)會更接近于真實概率P(T)：

至于考慮到牌序帶來的影響會比較復(fù)雜，可以用隨機數(shù)模擬序列的方式來求精確解，但我這里還是決定根據(jù)上下限和個人經(jīng)驗給出一定的近似值（主要還是拖太久了，趕緊解決了吧hhhh）。

第一個偏高情況是由牌序引起的問題，砍期望能保證某卡在提前幾個回合上手，但是砍期望也就意味著默認少抽了一次牌，會使得總體結(jié)果繼續(xù)下降，而且下降量很多，我腦測一下在有9張一費和6張二費的情況下，一二三費完全倒序來牌概率不大，所以我個人認為期望為2的會比較接近真實概率P(T)，同時帶入核心卡數(shù)量為6計算一下：

和之前的P(S)差不太多，對于本來抽牌數(shù)量就少還少換一張的先手來說砍一點期望會比后手影響更大一些，正常。

所以綜上所述，我們得出結(jié)論：

打出如此combo的先手概率大致在0.45附近，后手概率在0.6附近。

好的！那么到止為止本次水帖的正文部分已經(jīng)基本結(jié)束了，我們來總結(jié)一下具體做了些什么吧：

1. 單核心卡在特定回合前的上手率通過過牌期望的形式解決了問題。

2. 開局換牌階段和后續(xù)抽牌階段統(tǒng)一簡化為一次排列組合進行近似計算。

3. 多核心卡的核心上手率使用排列組合的加法原理解決了問題。

4. 綜合利用上面三種方法解決實際私活提出的問題，并不嚴謹，還有提升空間，但是個人覺得誤差不大（意思就是懶得再做了hhhh）

那么在這里其實絕大多數(shù)上手率問題都能通過這個框架來進行解決了，但我們還是有一些小尾巴沒有收尾（怎么這么多尾巴0.0），算是做下一次的更新預(yù)告了：

1. 正向計算和反向計算值其實是不一樣的，換牌也有獨有的海崖式算法。

2. 馬三刑三還是馬二刑三還是馬三刑二？基于馬刑問題的上手率模擬與構(gòu)筑研究。

3. 潛龍出海的生靈結(jié)算優(yōu)先級真的是從左到右嗎？為什么感覺傀儡師總是第一個觸發(fā)？

（好吧，第三個問題應(yīng)該不在下一期的【卡牌建模計劃】更新中，應(yīng)該算是水晶的【機制講堂】或者【bug講堂】里面的，湊個數(shù)吧。短時間內(nèi)預(yù)計還會有一個和韋師傅聯(lián)合開發(fā)的因緣卡組攻略更新）

怎么感覺每次解決了一個問題，就冒出了更多的更復(fù)雜的問題……

可惡，下機！